Úloha TMF číslo 17 : Seiches

            Zadanie úlohy: 

17. SEICHES Seiching is a phenomenon shown by long and narrow deep lakes. Due to changes in atmospheric pressure, the water of the lake can start moving in such a way that its level at both ends of the lake makes periodic motions, which are identical, but out of phase. Make a model that predicts the period of seiching (depending on appropriate parameters) and test its validity.

17.SEICHES Seiching je jav vyskytujúci sa na dlhých, úzkych a hlbokých jazerách. Kvôli zmenám atmosferického tlaku, voda v jazere sa môže začať pohybovať tak, že hladina na oboch koncoch jazera koná periodické pohyby, ktoré sú identické, ale fázovo posunuté. Urobte model ktorý predpovedá periódu seichingu, závisiaci na primeraných parametroch a otestujte jeho platnosť.

 

            Riešenie:

Teoretický úvod

Seiches sú vlastné kmity vody v dlhých a hlbokých jazerách. Keďže jazero je z oboch strán uzavreté, vlnenie musí byť stojaté. Počiatočnú výchylku vodnej hladiny z rovnovážneho stavu spôsobujú  zmeny atmosferických podmienok, ako napíklad zmeny tlaku alebo vietor. Našou úlohou je zostaviť model, ktorý predpovedá periódu takéhoto kmitania. Pomocou známych fyzikálnych vzťahov sa pokúsime najprv tento vzorec odvodiť.

 

            Obrázok znázorňuje jazero dĺžky L a hĺbky h, kde zmeny atmosferických podmienok spôsobili výchylku hladiny y (merané na brehu jazera). Hladina má pri pohľade zboku tvar časti sínusoidy. Obrázok znázorňuje seiches prvého rádu, čo znamená, že v jazere existuje len jeden uzol, a to v strede. Periódu kmitania sa pokúsime odvodiť pomocou niekoľkých predpokladov :

            1. Zvolíme si dva body na povrchu jazera. Ak je rozdiel vzdialeností meraných od počiatku jazera (po dĺžke) medzi týmito zvolenými bodmi dx a výškový rozdiel medzi zvolenými bodmi dy, potom rozdiel tlakov vo vode pod týmito zvolenými bodmi je

.                                                                              (1)

2. Ak má hladina tvar časti sínusoidy a vieme, že kmitá stojatým vlnením, pričom na kraji jazera sú kmitne a v strede uzol, okamžitá výchylka vodnej hladiny z rovnovážneho stavu v závislosti od vzdialenosti od stredu jazera x a od času  t sa dá vyjadriť ako

                                                                (2)

            kde
             

             3.  Rozdiel tlakov medzi dvoma bodmi v jazere so vzdialenosťou dx spôsobuje silu, ktorá pôsobí na plochu S.

                                                                (3)

Plocha S je určená obdĺžnikom dĺžky b (šírka jazera) a dh, limitne malým rozdielom výšok (meraných od hladiny).

             4.  Predpokladáme, že táto sila je zároveň výslednou silou, ktorou pôsobí element vody na vodu, ktorá sa nachádza vedľa (znázornené na obrázku).

                                                           (4)

Zvolený element vody hmotnosti m je kváder o rozmeroch b, dhdx.

             5.  Voda, ktorá sa momentálne nachádza nad hladinou určenou rovnovážnym stavom, sa nemôže stratiť a v konečnom dôsledku musí rovnaké množstvo vody pretiecť plochou v strede jazera. Keďže rýchlosť vody v smere osi y nie je rovnaká v každom bode na hladine, nepretečie cez každý element plochy za jednotku času rovnaký objem. Objem, ktorý pretečie v smere  osi y cez myslenú  hladinu v rovnovážnom stave, musíme preto vypočítať pomocou integrálneho počtu.

                                                                                 (5)

 Po dosadení vx = ax.dt, a vy = dy/dt do rovnice (5) a využití vzťahov (1) a (4) sme odvodili vzťah, ktorý vyjadruje uhlovú frekvenciu w

.

Pre periódu kmitania T v závislosti od parametrov jazera potom platí

                                                                                                    (6)

Tento odvodený vzorec (6) sa zhoduje so vzorcom uvádzaným v literatúre, teda naše odvodenie môžeme považovať za správne.

 

            Experimentálna časť 

            Po odvodení vzťahu sme sa pokúsili overiť jeho platnosť.Najprv sme sa pokúsili „otestovať“ vzorce na niektorých známych jazerách.Napríklad:

Vidíme, že reálna perióda seichingu sa približne rovná vypočítanej. Vypočítaná perióda je vždy menšia ako reálna. Takýto výsledok dostaneme aj pri experimentoch a podrobnejšie ho zdôvodňujeme v závere.

            Vzorce pre periódu seichingu sme sa snažili overiť a porovnať aj experimentálne. Použili sme nádoby viacerých rozmerov, a zakaždým vyvolali stojaté vlnenie s uzlom uprostred, čím sme sa snažili „simulovať“ seiching. Hĺbka nádoby však nesmie byť príliš malá, lebo v tom prípade majú vlny iný charakter, ktorý nezodpovedá vlastnému stojatému vlneniu.

            Seiches prvého rádu, teda s jedným uzlom, sa dá vyvolať posunutím nádoby. Vplyvom zotrvačných síl sa voda vychýli z rovnovážnej polohy a začne kmitať s vlastnou periódou – je to teda rovnaká situácia ako pri vzniku seiches v jazerách, len vznik vlnenia je iný.

Tabuľka s výsledkami :

l (cm)

h (cm)

20 * T

T(s) – Nam

T(s) – Vyp

30,5

3,6

21,45

1,07

1,03

36

10

16,97

0,85

0,73

85

9,5

37,76

1,89

1,77

133

21.I

40,48

2,02

1,83

Periódu sme určili tak, že sme zmerali čas dvadsiatich periód a následne delili dvadsiatimi. T – Nam je perióda, ktorú sme týmto spôsobom zmerali, T – Vyp je perióda, ktorú sme vypočítali pomocou odvodeného vzťahu.

            Doteraz sme uvažovali iba o seiches prvého rádu, teda seiches s jedným uzlom. Môže však vzniknúť aj stojaté vlnenie s dvoma alebo viacerými uzlami. Pri počte uzlov n literatúra uvádza vzťah

       

            Druhá tabuľka zobrazuje tie isté veličiny ako prvá, rozdiel je v tom, že tu sme pozorovali seiches druhého rádu, teda s dvoma uzlami a kmitňou uprostred. Ďalšie kmitne boli na kraji nádoby, tak isto ako pri seiches prvého rádu. Uzly boli vzdialené vždy jednu štvtinu celkovej dĺžky od kraja nádoby. Seiches druhého rádu sa dá vyvolať vychýlením vody uprostred nádoby z rovnovážneho stavu.

l (cm)

h (cm)

20 * T (s)

T(s) – Nam.

T(s) – Vyp

30,5

3,6

10,95

0,54

0,51

36

10

10,45

0,52

0,36

85

9,5

19,88

0,99

0,88

133

21,1

22,44

1,12

0,91

 Napokon sme sa pokúsli zistiť periódu seiches vo väčšej nádobe, vo vani. Vaňa bola postupne vypúšťaná, merali sme jej hĺbku a pozorovali seiches prvého aj druhého rádu. 

i

l (cm)

h (m)

20*T1(s)

20*T2(s)

T1(s) -Nam

T1(s) - Vyp

T2(s) - Nam

T2(s) –Vyp

1

133

21,8

40,48

22,44

2,04

1,82

1,12

0,91

2

131

20,3

41,2

22,49

2,06

1,86

1,12

0,92

3

128

19,3

42,83

23,02

2,14

1,86

1,15

0,93

4

128

18,2

43,46

23,72

2,17

1,91

1,18

0,96

5

127

17,1

44,4

23,94

2,22

1,96

1,19

0,98

6

126

16,1

44,9

24,22

2,24

2,00

1,21

1,00

7

126

14,1

46,03

24,71

2,30

2,14

1,24

1,07

8

125

13,6

48,27

25,72

2,41

2,16

1,286

1,08

kde, T1 je perióda seiches prvého rádu a T2 je perióda seiches druhého rádu. Skratka Vyp oynačuje vypočítané hodnoty periódy pomocou nami odvodeného vzťahu, Nam označuje namerané hodnoty.

            Zhrnutie

            Zistili sme, že keď porovnáme nameranú periódu seiches s periódou seiches vypočítanou pomocou odvodeného vzorca, menšia hodnota periódy vyjde pri použití odvodeného vzťahu.

            O niečo väčšia je nameraná hodnota periódy seiches pre dané jazero resp. nádobu. Výsledok takéhoto porovnania je taký istý pri skutočných jazerách aj pri nádobách. Nameraná hodnota periódy seiches prvého rádu je väčšia oproti vypočítanej o menej ako 10 %, a pre seiches druhého rádu je rozdiel asi 20 %.

            Tento výsledok sa dá vysvetliť tým, že vzorec nájdený v literatúre nazapočítava iné relevantné faktory, ako napríklad vnútorné trenie kvapaliny, viskozitu, alebo trenie kvapaliny o dno. Dno v jazerách navyše nie je hladké, čo zvyšuje trecie sily. V jazerách sa nachádzajú  mikroorganizmy a iné mikroskopické častice, čo zvyšuje viskozitu vody v jazere. Tým, že vzorec „zanedbáva“ tieto faktory, možno zdôvodniť, prečo je perióda vypočítaná podľa tohto vzorca o niečo kratšia ako je v skutočnosti.

            Seiches ako jav je pomerne zložitý, lebo do úvahy sa musí brať množstvo parametrov, ktoré je však veľmi ťažké zahrnúť do matematického modelu. Napriek tomu je možné nájsť vzorec, ktorý závisí len od niekoľkých základných parametrov, a napriek tomu dokáže vypočítať periódu týchto kmitov s uspokojivou presnosťou. Ukázali sme tiež, že je možné seiches simulovať aj v nádobách s oveľa menšími rozmermi, ako sú rozmery jazier.